Vài lời giới thiệu về cuốn sách Số học hiện đại

gioi_thieu_ve_giao_trinh_so_hoc_hien_dai.doc

            Số học là khoa học về số. Từ “Số học” (Arithmetic) xuất phát từ tiếng Hy lạp “Aritmos” có nghĩa là số. Trong Số học người ta nghiên cứu những tính chất đơn giản của số và những quy tắc tính toán.

Số học là một trong những lĩnh vực cổ xưa nhất của toán học và cũng là lĩnh vực tồn tại nhiều nhất những bài toán, những giả thuyết chưa có câu trả lời. Trên con đường tìm kiếm lời giải cho những giả thuyết đó, nhiều tư tưởng lớn, nhiều lý thuyết lớn của toán học đã nẩy sinh.

Nhiều nhà toán học vĩ đại trong lịch sử đã có những câu nói bất hủ về vai trò của Số học trong toán học và khoa học:

 Gauss: Toán học là Vua của các khoa học, Số học là Nữ hoàng của Toán học (Mathematics is the Queen of all Sciences, and Arithmetic the Queen of Mathematics).

Jacobi: Thượng đế là nhà số học (God is an arithmetician).

Kronecker: Thượng đế đã sáng tạo ra số tự nhiên và phần còn lại là công việc của chúng ta (God created the natural number, and all the rest is the work of man).

Cho đến những năm 70 của thế kỷ XX, Số học vẫn được xem là một trong những ngành lý thuyết thuần túy nhất của toán học. Thậm chí, có người còn cho rằng vẻ đẹp của Số học có được là nhờ sự xa rời thực tiễn của nó. Nhưng cũng chính nhờ máy tính, một tinh hoa của văn minh nhân loại vào thế kỷ XX, đã làm tái sinh môn học cổ xưa này. Máy tính không những phát huy mọi vẻ đẹp truyền thống của Số học mà còn triển khai ra những ứng dụng đang và sẽ có cho chúng ta trong thế kỷ XXI. Nếu như trước đây, Số học vẫn được xem là một trong những ngành lý thuyết xa rời thực tiễn nhất, thì ngày nay, nhiều thành tựu mới nhất của Số học có ứng dụng trực tiếp vào các vấn đề của đời sống, như thông tin, mật mã, kỹ thuật máy tính. Một hướng mới của Số học ra đời: Số học thuật toán. Có thể nói đó là chiếc cầu nối giữa Số học và Tin học. Số học đã hiện hữu trong các hoạt động thực tiễn: Kỹ thuật máy tính, mật mã, trao đổi trực tuyến giữa các ngân hàng, thẻ ATM, truyền phát tín hiệu vệ tinh, chứng khoán, mã vạch, mã sửa sai...

Vì vậy, việc trang bị những kiến thức Số học hiện đại cho học viên sau đại học ngành toán là hết sức cần thiết. Với lý do như đã nói ở trên, chúng tôi biên soạn giáo trình này trên cơ sở theo dõi và tham khảo các tài liệu về số học có liên quan đã công bố hoặc xuất bản trong thời gian gần đây, nhằm phục vụ một đối tượng khá rộng: Sinh viên, học viên cao học, nghiên cứu sinh toán, những người quan tâm đến lý thuyết và ứng dụng của Số học.

Trước hết, chúng tôi tập trung giới thiệu về lý thuyết trường định chuẩn (trường mêtric). Định lý Ostrowski mô tả hết tất cả các chuẩn trên trường các số hữu tỉ Q, khẳng định rằng trên chỉ có hai kiểu chuẩn (sai khác nhau một tương đương) là: Chuẩn giá trị tuyệt đối và chuẩn p-adic. Do đó, chỉ có hai hướng mở rộng trường số hữu tỉ thành trường đầy đủ. Nếu xuất phát từ chuẩn giá trị tuyệt đối (chuẩn Acsimet) trên Q thì theo phương pháp mở rộng Cantor, ta sẽ thu được trường các số thực R. Còn nếu xuất phát từ chuẩn p-adic (chuẩn không Acsimet) thì ta sẽ thu được trường các số p-adic Qp. Do đó, trường các số thực và trường các số p-adic là bình đẳng với nhau với tư cách là các mở rộng đầy đủ của trường số hữu tỉ. Ngoài ra, giáo trình này còn giới thiệu một số tính chất hình học và tôpô trên trường mêtric không Acsimet.

Một trong những động lực của sự phát triển Số học hiện đại là sự tương tự giữa số nguyên và đa thức. Sự phát triển của Số học, đặc biệt trong thời gian gần đây, chịu sự ảnh hưởng rất lớn của sự tương tự giữa số nguyên và đa thức. Nói cách khác, khi có giả thuyết nào đó chưa chứng minh được với các số nguyên, người ta thường cố gắng chứng minh sự kiện tương tự cho đa thức. Điều đó thường dễ làm hơn, có lẽ nguyên nhân chủ yếu là vì đối với đa thức, ta có phép tính đạo hàm, trong khi đó đạo hàm trên mọi số nguyên đều triệt tiêu. Nhờ sự tương tự giữa số nguyên và đa thức, vào năm 1983, R. C. Mason đã chứng minh một định lý rất đẹp về đa thức. Từ Định lý Mason, người ta dễ dàng thu được tương tự của Định lý Fermat lớn đối với đa thức trên một trường đóng đại số với đặc số 0. Cũng từ Định lý Mason, ta có thể suy ra nhiều hệ thức giữa các đa thức. Chẳng hạn, một trong những hệ quả đó là Định lý Davenport mà khẳng định tương tự của nó đối với số nguyên là Giả thuyết Hall vẫn còn chưa được chứng minh. Định lý Mason và tương tự giữa các số nguyên và đa thức gợi ý cho Giả thuyết ABC và từ giả thuyết này ta có thể suy ra Định lý Fermat tiệm cận. Như vậy, sự tương tự số học và các tính chất của đa thức đã gợi mở một con đường nhiều hy vọng, để đi đến chứng minh các giả thuyết số học.

            Trong nhiều ứng dụng, chúng ta thường dùng đến thuật toán để chỉ ra một số tự nhiên là số nguyên tố. Trong trường hợp này, ta không thể dùng Định lý Fermat bé, vì định lý ngược của nó không đúng. Tuy nhiên, nếu một số tự nhiên thoả mãn giả thiết của Định lý Ferrmat bé thì "có nhiều khả năng" nó là một số nguyên tố. Chương 3 của giáo trình này, trình bày các khái niệm và kết quả về số nguyên tố, số giả nguyên tố, số giả nguyên tố mạnh, số Carmichael.

Như nhiều người trong chúng ta đã biết rằng, cuối cùng “Định lý cuối cùng của Fermat” (Định lý Fermat lớn), được đặt ra cách đây 350 năm bởi nhà toán học người Pháp Pierre Fermat (1601-1665), đã được chúng minh một cách chặt chẽ bởi nhà toán học người Anh là Andrew Wiles, khẳng định rằng phương trình x^n+y^n=z^n, xyz khác 0,  không có nghiệm nguyên. Trong Chương 4, giáo trình giới thiệu tóm tắt Giả thuyết Shimura - Taniyama mà hệ quả của nó chính là “Định lý cuối cùng của Fermat”. Chúng tôi hoàn toàn không có ý định tìm hiểu một cách chi tiết các chứng minh Giả thuyết Shimura - Taniyama của Andrew Wiles, bởi lẽ đó là một công việc lâu dài và khó khăn. Chứng minh "Định lý cuối cùng của Fermat" của Andrew Wiles là một chứng minh rất khó, vận dụng hầu hết những kiến thức của nhiều ngành toán học hiện đại. Nói như Ken Ribet (người đã hoàn thành chứng minh để từ Giả thuyết Shimura - Taniyama có thể suy ra Định lý cuối cùng của Ferrmat), chỉ có khoảng một phần nghìn nhà toán học có thể hiểu chứng minh đó.

Trước nguy cơ gia tăng những cuộc tấn công ngày càng tinh vi vào hệ thống Internet, mã hoá thông tin là phương pháp duy nhất để bảo vệ các giá trị thông tin điện tử. Có thể nói mã hoá là công cụ tự động quan trọng nhất cho an ninh mạng và truyền thông hiện nay. Vì vậy, Chương 5 của giáo trình là những tìm hiểu về cơ sở của mã hoá và giải mã thông tin, giới thiệu các khái niệm và các kết quả về căn nguyên thuỷ nhằm tìm hiểu các ứng dụng của Số học trong một lĩnh vực của mật mã học.

                                                                                      CÁC TÁC GIẢ            


 

         TÊN SÁCH: SỐ HỌC HIỆN ĐẠI

         TÁC GIẢ: NGUYỄN THÀNH QUANG, NGUYỄN THỊ HỒNG LOAN, PHAN ĐỨC TUẤN

         SỐ TRANG: 227

         NƠI XUẤT BẢN: NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC VINH

      ĐỐI TƯỢNG PHỤC VỤ: GIẢNG VIÊN, GIÁO VIÊN, SINH VIÊN, HỌC VIÊN, NGHIÊN CỨU SINH NGÀNH TOÁN CÓ SỬ DỤNG CÔNG CỤ ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ VÀ NHỮNG NGƯỜI CÓ QUAN TÂM

          GIÁ SÁCH: 68000 ĐỒNG

        ĐỊA CHỈ MUA SÁCH: Văn phòng Khoa Sư phạm Toán học, Trường Đại học Vinh, số 182 Đường Lê Duẩn, thành phố Vinh, tỉnh Nghệ An (Gặp Cô Đoàn Thị Thúy Hà)

       Số tài khoản đăng ký mua sách: 51010000191567, Ngân hàng Đầu tư và Phát triển Vinh, Nghệ An (Người đăng ký mua chịu cước phí vận chuyển bằng bưu điện nếu gửi ra ngoài thành phố Vinh).

          Email: ntquangdhv@gmail.com

          Số điện thoại: 0912480229