TÊN SÁCH: LÝ THUYẾT TRƯỜNG VÀ ỨNG DỤNG

NHÀ XUẤT BẢN: ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

NĂM XUẤT BẢN: 2011

TÁC GIẢ: NGUYỄN THÀNH QUANG

Việc giải phương trình đại số là một vấn đề kinh điển của toán học. Cho tới đầu thế kỷ XX, Đại số học chủ yếu nghiên cứu việc giải các phương trình đại số. Một minh chứng rõ nhất đó là Định lý cơ bản của Đại số học cổ điển khẳng định rằng, mọi đa thức hệ số phức với bậc khác 0 đều có ít nhất một nghiệm phức. Song song với việc nghiên cứu giải phương trình đa thức là những cố gắng của các nhà toán học nhằm chứng minh Định lý cơ bản của Đại số học cổ điển. Về sau, Đại số học trở thành khoa học nghiên cứu cấu trúc đại số trừu tượng, mà trong đó cấu trúc trường là một cấu trúc đại số cơ bản có nhiều ứng dụng sâu sắc trong các lĩnh vực khác nhau của khoa học.

Từ lâu, bài toán giải phương trình đa thức gắn liền với bài toán mở rộng trường, đặc biệt là mở rộng căn của các trường số. Vì vậy, mở rộng trường là một vấn đề cơ bản của Lý thuyết trường, đã được nhiều nhà toán học quan tâm. Xin phép nhắc lại ở đây một vài tên tuổi của những nhà toán học lớn có liên quan đến lĩnh vực này như Liouville, Hermite, Lindemann, Lagrange, Gauss, Abel, Galois,  Dedekind.

Như chúng ta đã thấy rõ trong lịch sử phát triển của toán học, khởi đầu từ việc mở rộng tập hợp các số tự nhiên tới tập hợp các số nguyên, nguyên nhân chủ yếu là do nhu cầu giải các phương trình dạng x+a=b. Đến bài toán mở rộng vành số nguyên tới trường số hữu tỉ liên quan đến giải phương trình bậc nhất ax=b. Tiếp theo, yêu cầu mở rộng trường số hữu tỉ tới trường số thực lại gắn liền với việc giải phương trình x2=2. Tương tự, việc mở rộng trường số thực tới trường số phức xuất phát từ việc giải phương trình bậc hai x2+1=0. Nói khác đi, cùng với việc giải phương trình đại số khái niệm số phức đã ra đời. Tổng quát hơn, trong Lý thuyết trường ta có định lý về sự tồn tại duy nhất trường nghiệm của một đa thức trên một trường cơ sở tùy ý, là mở rộng của Định lý cơ bản của Đại số học cổ điển trên trường số phức.

Đại số trừu tượng, một lĩnh vực được hình thành từ môn đại số quen thuộc được dạy trong nhà trường phổ thông để giải phương trình, đã được phát triển trong thế kỷ XIX. Trong lĩnh vực này, một lý thuyết đẹp nổi bật là Lý thuyết Galois. Lý thuyết Galois sẽ tạo ra một bước tiến quan trọng trong phương pháp được sử dụng một thế kỷ rưỡi sau đó để chinh phục Định lý sau cùng của Fermat. Nguồn gốc của Lý thuyết Galois là vấn đề giải các phương trình đại số bằng căn thức. Vấn đề này thực chất là mở rộng trường bằng cách ghép thêm liên tiếp những căn thức. Thành tựu của E. Galois (1811 – 1832) là đã chuyển vấn đề này thành một nội dung của lý thuyết nhóm. Tư tưởng cơ bản của E. Galois là cho tương ứng mỗi phương trình đại số với một nhóm hữu hạn, sau này được gọi là nhóm Galois của phương trình đó. Tính chất giải được của nhóm Galois này xác định tính giải được bằng căn thức của phương trình đại số tương ứng.

Hơn nữa, mọi bài toán dựng hình đều có thể đưa về việc tìm các nghiệm của một phương trình đại số nào đó. Do đó, về phương diện hình học, Lý thuyết trường và Lý thuyết Galois còn có liên quan chặt chẽ đến các bài toán dựng hình, đặc biệt là các bài toán dựng hình cổ điển bằng thước kẻ và compa. Vì vậy, có thể nói rằng, Lý thuyết trường và Lý thuyết Galois là giao của nhiều lĩnh vực: Số học, Cơ học, Lý thuyết số, Lý thuyết nhóm, Hình học, Giải tích, …

Với tất cả các lý do đã nói ở trên, cuốn sách này nhằm hệ thống lại một số khái niệm và kết quả cơ bản có liên quan đến Lý thuyết trường và Lý thuyết Galois cùng với những ứng dụng khác nhau về các phương diện đại số, số học, hình học.

Thực hành tính toán trong phần phụ lục của giáo trình này sẽ được thực hiện trên Maple, chương trình tính toán đang được xem là phổ biến nhất trong nghiên cứu, giảng dạy tại các trường đại học trên thế giới. Với khả năng tính toán hình thức rất mạnh, Maple cho phép chúng ta làm việc trên các khái niệm trừu tượng của Lý thuyết trường và Lý thuyết Galois (mở rộng đại số của trường số hữu tỉ, mở rộng đại số của trường hữu hạn, trường Galois, kiểm tra tính bất khả quy của đa thức, tìm đa thức tối tiểu của phần tử đại số…).  Đây cũng là một phương hướng nghiên cứu mới kết hợp giữa đại số, số học với tin học đang được nhiều nhà toán học quan tâm, nhằm sử dụng rộng rãi máy tính trong các nghiên cứu của đại số và số học. Cuối mỗi chương của cuốn sách đều có một số bài tập mang tính chất luyện tập và tính toán thực hành hoặc mở rộng lý thuyết.

Đối tượng hướng tới của cuốn sách là những sinh viên năm cuối các ngành sư phạm, cử nhân khoa học, học viên cao học, nghiên cứu sinh toán cùng những ngư­ời quan tâm đến Lý thuyết trường và Lý thuyết Galois cùng với các ứng dụng.

Nhân dịp hoàn thành cuốn sách, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Giáo sư Viện sĩ Hà Huy Khoái đã có nhiều chỉ bảo và giúp đỡ quý báu dành cho tác giả trong khi biên soạn cuốn sách này.

Tác giả trân trọng cảm ơn PGS.TS. Nguyễn Quý Dy, PGS.TS. Ngô Sĩ Tùng, PGS.TS. Lê Quốc Hán, TS. Nguyễn Thị Hồng Loan đã đọc toàn bộ bản thảo và góp nhiều ý kiến quý báu. Tác giả rất biết ơn Bộ môn Đại số và Khoa Toán học, Trường Đại học Vinh đã tạo điều kiện thuận lợi để tác giả tham gia giảng dạy chuyên đề Lý thuyết trường và Lý thuyết Galois cho sinh viên và học viên cao học trong nhiều năm và được biên soạn cuốn sách này trên cơ sở nội dung của những bài giảng đó. 

Do nhiều nguyên nhân, cuốn sách không tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong muốn nhận được sự góp ý, chỉ bảo của đồng nghiệp và bạn đọc.
                    Nguyễn Thành Quang